Tema 1
Expresiones Algebraicas
Combinar y simplificar expresiones identificando términos semejantes: misma variable, mismo exponente.
¿Qué son términos semejantes?
Solo puedes sumar o restar términos que tengan exactamente la misma letra y el mismo exponente. Cuando hay un signo − antes de un paréntesis, todos los signos internos se invierten.
3x + 7x = 10x ← misma variable ✓
3x + 7y = 3x + 7y ← distintas variables, NO se combinan
−(−8m + n) = +8m − n ← distribuir el signo −
⚠ Truco mental: piensa en "x" como una manzana. 3 manzanas + 7 manzanas = 10 manzanas. No puedes sumar manzanas con peras.
Ejemplo 1 — Básico
Problema
3x − 8y − 2z + 7x + 3y + 2
1
Identifica grupos: (3x + 7x) · (−8y + 3y) · (−2z) · (+2)
2
Suma cada grupo: 10x · −5y · −2z · +2
Resultado: 10x − 5y − 2z + 2 ✓
Ejemplo 2 — Con paréntesis y signo −
Problema
(−5m − 3n) − (−8m + n)
1
Elimina los paréntesis. El segundo tiene un − delante → invierte todos sus signos:
−5m − 3n + 8m − n
−5m − 3n + 8m − n
2
Agrupa semejantes: (−5m + 8m) + (−3n − n)
3
Suma: 3m − 4n
Resultado: 3m − 4n ✓
⚠ Regla de oro: − (−8m) = +8m · − (+n) = −n. El signo − delante del paréntesis actúa como × (−1) sobre cada término.
Ejemplo 3 — Tres grupos con x²
Problema
(5x² − 5x + 6) − (2x² − 7x + 4) + (−6x² + 10x − 10)
1
Elimina paréntesis (el 2.º tiene − delante, el 3.º tiene + delante):
5x² − 5x + 6 − 2x² + 7x − 4 − 6x² + 10x − 10
5x² − 5x + 6 − 2x² + 7x − 4 − 6x² + 10x − 10
2
Agrupa por variable:
x²: 5 − 2 − 6 = −3
x: −5 + 7 + 10 = +12
constantes: 6 − 4 − 10 = −8
x²: 5 − 2 − 6 = −3
x: −5 + 7 + 10 = +12
constantes: 6 − 4 − 10 = −8
Resultado: −3x² + 12x − 8 ✓
✓ Tip: organiza una columna por cada tipo de término para no perderte.
Tema 2
Multiplicación de Polinomios
Multiplica cada término del primero por cada término del segundo. Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes.
Productos notables — memoriza estas 3
| Cuadrado del binomio (+) | (a+b)² = a² + 2ab + b² |
| Cuadrado del binomio (−) | (a−b)² = a² − 2ab + b² |
| Suma por diferencia | (a+b)(a−b) = a² − b² |
| Exp. misma base | xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ |
| Signos (+)(−) = | − · (−)(−) = + · (+)(+) = + |
Ejemplo 1 — Distribución simple
Problema
(x + 3)(x − 5)
1
Multiplica cada término del 1.º por cada del 2.º (método FOIL):
x·x = x² · x·(−5) = −5x
3·x = +3x · 3·(−5) = −15
x·x = x² · x·(−5) = −5x
3·x = +3x · 3·(−5) = −15
2
Suma: x² − 5x + 3x − 15
3
Combina semejantes: −5x + 3x = −2x
Resultado: x² − 2x − 15 ✓
Ejemplo 2 — Cuadrado del binomio
Problema
(2x + 3)²
Aplica la fórmula: (a + b)² = a² + 2ab + b² donde a = 2x y b = 3
1
a² = (2x)² = 4x²
2
2ab = 2 · (2x) · 3 = 12x
3
b² = 3² = 9
Resultado: 4x² + 12x + 9 ✓
⚠ Error frecuente: (2x + 3)² ≠ 4x² + 9. ¡Siempre va el término del medio 2ab!
Ejemplo 3 — Suma por diferencia
Problema
(3x + 2y)(3x − 2y)
Aplica: (a + b)(a − b) = a² − b² donde a = 3x y b = 2y
1
a² = (3x)² = 9x²
2
b² = (2y)² = 4y²
3
Resultado: 9x² − 4y² (¡el término central desaparece!)
Resultado: 9x² − 4y² ✓
✓ La suma por diferencia siempre elimina el término central. Es la forma más rápida.
Tema 3
División de Polinomios
Al dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes. Si el resultado tiene exponente 0: x⁰ = 1.
Reglas básicas
| Misma base | xᵃ ÷ xᵇ = xᵃ⁻ᵇ |
| Coeficientes | Se dividen normalmente: 9 ÷ 3 = 3 |
| Exponente cero | x⁰ = 1 |
| Signos | − ÷ − = + · + ÷ − = − |
| Polinomio ÷ monomio | Divide cada término por separado |
Ejemplo 1 — Monomio ÷ Monomio (básico)
Problema
9a⁶b¹⁰ ÷ 3a²b⁵
1
Coeficientes: 9 ÷ 3 = 3
2
Variable a: a⁶ ÷ a² = a⁶⁻² = a⁴
3
Variable b: b¹⁰ ÷ b⁵ = b¹⁰⁻⁵ = b⁵
Resultado: 3a⁴b⁵ ✓
Ejemplo 2 — Monomio ÷ Monomio (con negativos)
Problema
−6x³y⁹ ÷ (−18x⁴y³)
1
Signos: −6 ÷ −18 = +6/18 = 1/3
2
Variable x: x³ ÷ x⁴ = x³⁻⁴ = x⁻¹ = 1/x (exponente negativo = va al denominador)
3
Variable y: y⁹ ÷ y³ = y⁶
Resultado: y⁶ / (3x) ✓
⚠ Cuando el exponente queda negativo, el término pasa al denominador de la fracción.
Ejemplo 3 — Polinomio ÷ Monomio
Problema
(21m⁴n⁶ + 15m³n⁴ + 3m²n²) ÷ 3mn²
Divide cada término del polinomio por separado entre el monomio.
1
21m⁴n⁶ ÷ 3mn² = 7m³n⁴
2
15m³n⁴ ÷ 3mn² = 5m²n²
3
3m²n² ÷ 3mn² = m¹n⁰ = m
Resultado: 7m³n⁴ + 5m²n² + m ✓
✓ Método: traza una línea y escribe cada término del polinomio encima; divide cada uno por el monomio por separado.
Tema 4
Regla de 3
Encuentra un valor desconocido cuando existe una relación proporcional. Primero identifica si es directa o inversa.
¿Directa o Inversa?
| Directa ↑↑ | Si una sube, la otra también sube. X = (B × C) ÷ A |
| Inversa ↑↓ | Si una sube, la otra baja. X = (A × B) ÷ C |
| Compuesta | 3 magnitudes: analiza cada relación por separado |
✓ Pregúntate: "Si hay MÁS de esto, ¿habrá MÁS o MENOS del otro?" Si MÁS → MÁS = Directa. Si MÁS → MENOS = Inversa.
Ejemplo 1 — Directa simple
Problema
En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal. ¿Cuántos litros de agua hacen falta para 700 g de sal?
1
¿Más sal → más agua? Sí → Relación Directa
2
Plantea la tabla:
50 litros → 1300 g
x litros → 700 g
50 litros → 1300 g
x litros → 700 g
3
Cruza: x = (700 × 50) ÷ 1300 = 35000 ÷ 1300 ≈ 26.9 litros
Resultado: ≈ 26.9 litros de agua ✓
Ejemplo 2 — Inversa simple
Problema
5 obreros construyen una pared en 15 días. ¿Cuántos días tardan 3 obreros?
1
¿Más obreros → más días? No, más obreros = menos días → Relación Inversa
2
Plantea la tabla (en inversa, se multiplican del mismo lado):
5 obreros × 15 días = 3 obreros × x días
5 obreros × 15 días = 3 obreros × x días
3
x = (5 × 15) ÷ 3 = 75 ÷ 3 = 25 días
Resultado: 25 días ✓
⚠ En la inversa NO se multiplica en cruz. Se multiplica en la misma dirección: los dos valores conocidos se multiplican y se dividen entre el tercero.
Ejemplo 3 — Compuesta (directa + inversa)
Problema
8 niños comen 160 frutas en 2 horas. ¿Cuántas horas tardan 2 niños en comer 180 frutas?
1
Analiza cada magnitud respecto a las horas:
Niños: 8 → 2 (menos niños → más horas) → Inversa
Frutas: 160 → 180 (más frutas → más horas) → Directa
Niños: 8 → 2 (menos niños → más horas) → Inversa
Frutas: 160 → 180 (más frutas → más horas) → Directa
2
Aplica una por una partiendo de 2 horas:
Por niños (inversa): 2 × (8 ÷ 2) = 2 × 4 = 8 horas
Por niños (inversa): 2 × (8 ÷ 2) = 2 × 4 = 8 horas
3
Por frutas (directa): 8 × (180 ÷ 160) = 8 × 1.125 = 9 horas
Resultado: 9 horas ✓
✓ En la compuesta: aplica cada relación en cadena, una después de la otra, siempre empezando desde el valor base.
Tema 5
Factorización
Expresar una expresión como producto de factores más simples. Es el proceso inverso a multiplicar. Primero identifica qué forma tiene la expresión.
¿Qué regla aplico?
| Factor común | Todos tienen algo en común → sácalo |
| Diferencia de cuadrados | a² − b² = (a+b)(a−b) |
| Trinomio cuad. perfecto | a²±2ab+b² = (a±b)² |
| Trinomio general | x²+bx+c = (x+n₁)(x+n₂) |
| Suma/dif. de cubos | a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²) |
Ejemplo 1 — Factor común
Problema
6x²y − 9xy²
1
¿Qué tienen en común todos los términos? Coeficientes: mcd(6, 9) = 3. Variables: x · y
2
Factor común: 3xy
3
Divide cada término entre el factor común:
6x²y ÷ 3xy = 2x
−9xy² ÷ 3xy = −3y
6x²y ÷ 3xy = 2x
−9xy² ÷ 3xy = −3y
Resultado: 3xy(2x − 3y) ✓
✓ Comprobación: distribuye y verifica que obtienes la expresión original.
Ejemplo 2 — Diferencia de cuadrados
Problema
4x² − 25
Aplica: a² − b² = (a + b)(a − b)
1
¿Es diferencia (resta) de dos cuadrados? 4x² = (2x)² · 25 = 5² → ✓
2
Identifica: a = 2x · b = 5
3
Escribe: (a + b)(a − b) = (2x + 5)(2x − 5)
Resultado: (2x + 5)(2x − 5) ✓
⚠ Para que sea diferencia de cuadrados: (1) debe ser una resta, (2) ambos términos deben ser cuadrados perfectos.
Ejemplo 3 — Trinomio general
Problema
x² − 5x + 6
Forma: x² + bx + c → busca dos números que se multipliquen para dar c y se sumen para dar b
1
Aquí: b = −5 · c = +6
2
Busca n₁ · n₂ = 6 y n₁ + n₂ = −5:
Prueba: (−2)(−3) = 6 ✓ · (−2)+(−3) = −5 ✓
Prueba: (−2)(−3) = 6 ✓ · (−2)+(−3) = −5 ✓
3
Escribe: (x + n₁)(x + n₂) = (x − 2)(x − 3)
Resultado: (x − 2)(x − 3) ✓
✓ Siempre verifica: (x−2)(x−3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6 ✓
Tema 6
Fracciones Algebraicas
Fracciones donde el numerador y/o denominador son polinomios. El objetivo es simplificar cancelando factores comunes.
Proceso siempre igual — 3 pasos
1
Factoriza el numerador completamente.
2
Factoriza el denominador completamente.
3
Cancela los factores idénticos arriba y abajo.
⚠ NUNCA canceles términos sueltos. Solo cancelas factores completos. (x+1)/x ≠ 1, porque (x+1) no es solo x.
Ejemplo 1 — Diferencia de cuadrados en numerador
Problema
(x² − 16) / (x² − 4x)
1
Factoriza numerador (diferencia de cuadrados):
x² − 16 = (x + 4)(x − 4)
x² − 16 = (x + 4)(x − 4)
2
Factoriza denominador (factor común x):
x² − 4x = x(x − 4)
x² − 4x = x(x − 4)
3
Cancela (x − 4) que aparece arriba y abajo:
(x+4)(x−4) / x(x−4) = (x+4) / x
(x+4)(x−4) / x(x−4) = (x+4) / x
Resultado: (x + 4) / x ✓
Ejemplo 2 — Trinomio cuadrado perfecto
Problema
(2x² − 2) / (3x² + 6x + 3)
1
Numerador — saca factor común 2, luego diferencia de cuadrados:
2(x² − 1) = 2(x + 1)(x − 1)
2(x² − 1) = 2(x + 1)(x − 1)
2
Denominador — saca factor común 3, luego trinomio cuad. perfecto:
3(x² + 2x + 1) = 3(x + 1)²
3(x² + 2x + 1) = 3(x + 1)²
3
Cancela un factor (x + 1):
2(x+1)(x−1) / 3(x+1)² = 2(x−1) / 3(x+1)
2(x+1)(x−1) / 3(x+1)² = 2(x−1) / 3(x+1)
Resultado: 2(x − 1) / 3(x + 1) ✓
✓ Verifica: (x+1)² tiene dos factores (x+1). Cancelas solo uno, el otro queda en el denominador.
Ejemplo 3 — Variables mixtas
Problema
(x² − y²) / (x² + xy)
1
Numerador — diferencia de cuadrados:
x² − y² = (x + y)(x − y)
x² − y² = (x + y)(x − y)
2
Denominador — factor común x:
x² + xy = x(x + y)
x² + xy = x(x + y)
3
Cancela (x + y):
(x+y)(x−y) / x(x+y) = (x − y) / x
(x+y)(x−y) / x(x+y) = (x − y) / x
Resultado: (x − y) / x ✓
⚠ Las mismas reglas de factorización (dif. cuadrados, factor común, trinomios) se usan dentro de las fracciones. ¡Ya las sabes!